КВАЗИТРИГОНОМЕТРИЯ И КРИВОЛИНЕЙНОСТЬ

ФИЗИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА

 

 

Квазитригонометрия - это совсем новый раздел математики и создавался в качестве прикладного для доказательства Великой Теоремы Ферма. В квазитригономет­рии исследуется многомерная симметрия чисел и их форм.

ВВЕДЕНИЕ. Здесь рассмотрим вопрос теории чисел, имеющий "основное значение для всякого глубокого математического исследования" и связанного с аксиомой Кантора – соответствия "между всеми действительными числами, с одной стороны, и точками прямой, с другой стороны", гласящего "каждому рациональному или иррациональному числу отвечает точка, имеющая это число своей координатой; каждой точке на прямой отвечает в качестве координаты рациональное или иррациональное число" [19]. Так как аксиома Кантора - это многие обобщения, которые необходимо раскрывать, то далее будет показано, как развитие аксиомы Кантора влияет на пересмотр основ математики.

По Кантору, принято обозначать целые, рациональные и иррациональные чис­ла точкой на числовой оси. Это обобщение входит в основы математики. Рассмот­рим его на двух подходах к определению числовой оси:

а) точка на числовой оси обозначена целыми и (или) рациональными числами, и ограничена местами , внутри которых - иррациональные числа; отсчет производим по координатам точек;

б) место на числовой оси обозначено целыми и (или) рациональными числами и ограничено точками; внутри точки - иррациональные числа; от­счет производим по координатам мест.

При нумерации по точкам имеет место неопределенность в области внутри точек в соответствии с выбранным масштабом самой точки, иррациональное пространство вырождено.

При нумерации по местам имеется полная определенность соответствия цифры и места, и точка становится реальной как объект исследования. Положим, что точка на плоскости - это квадрат. И далее исследуем числовое простран­ство этой точки.

ОПРЕДЕЛЕНИЯ:

1) Квазитригонометрия - это раздел математики, в котором рассматривается полное расширение тригонометрических соотношений для пространства Минковского на плоскости.

2) Под пространством Минковского будем понимать сечения a-мерного пространства плоскостью, в котором линии равного потенциала образуют кривые Минковского, в свою очередь представляющие распространение кривых Ферма для первого квадранта симметрично и на три других квад­ранта (рис. к.1) [19].

Рис. к.1. Кривые Минковского и Ферма

3) Радиус единичной окружности в пространстве Минковского в декартовых координатах имеет обозначение R_a⁽²⁾, в полярных - примем обозначение r_a⁽²⁾(j). Так как далее будем рассматривать только плоские геометрии, то для упроще­ния написания принадлежность радиусов к плоскости опустим и введем обо­значения: R_a⁽²⁾ = R_a, r_a⁽²⁾(j) = r_a(j), R_a = r_a(j).

КВАЗИТРИГОНОМЕТРИЯ. В основе плоской тригонометрии лежит уравне­ние окружности или тригонометрического круга единичного радиуса с центром в начале прямоугольных координат на плоскости xh (см. рис. к.1):

(к.1)                x² + h² = 1, 0 £ x £ 1, 0 £ h £ 1.

Вводя на плоскости переменных xh полярные координаты r, j по формулам

(к.2)                x = r(j)cos(j), h = r(j)sin(j), 0 £ j £ p/2,           

кривую (1) можно задать параметрическими уравнениями

(к.3)                x(j) = r(j)cos(j), h(j) = r(j)sin(j),

где r, j - полярные координаты точки (x, h) кривой

(к.4)                x²(j) + h²(j) = 1.

Подставив уравнение (3к) в уравнение (4к), найдем полярное уравнение кривой (1)

 (к.5)               r(j) = (sin²j + cos²j)^-1/2, 0 £ j £ p/2.

Рассмотрим при каждом вещественном положительном a более общее урав­нение, в которое уравнение (1к) входит как частный случай,

(к.6)                x^a + h^a = 1, 0 £ a £ ¥, 0 £ x £ 1, 0 £ h £ 1.

Вводя на плоскости переменных xhполярные координаты r, j по формулам (к.2) кривую (6к) можно задать параметрическими уравнениями (к.3), но чтобы не было совпадения этих уравнений для случаев, когда a ¹ 2, введем общую форму написания пара­метрических уравнений с индексом a при переменных, который указывает на их связь с уравнением         a-степени в прямоугольных координатах, то есть

(к.7)                x_a(j) = r_a(j)cos(j), h_a(j) = r_a(j)sin(j),

где r_a, j - полярные координаты точки (x_a, h_a) кривой

(к.8)                x_a^a(j) + h_a^a(j) = 1, 0 £ a £ ¥, 0 £ x £ 1, 0 £ h £ 1, 0 £ j £ p/2.

Форма написания уравнения (к.8) является смешанной - полярно-прямоуголь­ной, исключающей по сравнению с уравнением (к.6) наличие для данного угла j более одного решения. Подставляя (к.7) в (к.8), получим поляр­ное уравнение кривой (к.6)

(к.9)                r_a(j) = (sin^aj + cos^aj)^-1/a, 0 £ j £ p/2.

При j = p/4 из (к.9) следует   

(к.10)              r_a(j) = 2^(a-2)/2a.

Обозначив разность проекций и радиусов как ∆x = x_a - x_2, ∆h = h_a - h₂, ∆r = r_a - r₂, получим, что при 0 £ j £ p/2

(к.11)              r_a  = r₂ ± ∆r = 1 ± (∆x² + ∆h²)^1/2,

 (при a < 2 будем иметь минус, а при a > 2 - плюс).

Следующее выражение

(к.12)              r_a(j) = [(1 + x_a^a /h_a^a)^-1/2 + (1 + h_a^a/x_a^a)^-1/2)^1/2,

является другим представлением r_a(j) через катеты x_a и h_a.

Функцию (к.7), в которой r_a(j) вычисляется по формуле (к.9), предлагается называть  квазитригонометрической и обозначать

(к.13)              sin_a(j) = sin(j)/(sin^a(j) + cos^a)^1/2, cos_a(j) = cos(j)/(j)/(sin^a(j) + cos^a)^1/2, 

ввиду того, что из (к.7) и (к.13) следует

(к.14)              sin_a²(j) + cos_a²(j) = r_a²(j),

или

(к.15)              x_a^a(j) + h_a^a(j) = r_a²(j),

При a = 2 имеем

(к.16)              sin₂(j)  = sin(j), cos₂(j) = cos(j), r₂(j) = 1.

Важный вывод:

 

Уравнение любой степени с двумя неизвестными на плоскости сводится к уравнению второй степени.

 

Расстояние из начала координат до точек кривых (кроме a = 2) является вели­чиной переменной, назовем это расстояние функциональным радиусом (рис. к.2).

Рис. к.2. Изменение функционального радиуса

 

Показатель степени a может принимать любое вещественное значение. При a = 0, 1/2, 1, 2, ¥ функциональный радиус описывает ряд кривых Минковского, которые отметим как частные решения уравнения (к.6), а между ними при 0 £ j £ p/2, будем иметь последовательно изменения r_a(j):

от 0 до 2^1/2/4, от 2^1/2/4 до 2^1/2/2, от 2^1/2/2 до 1, от 1 до 2^1/2.                      

Если 0 ≤ ξ ≤ 1, 0 ≤ η ≤ 1, то для каждого a кривая (к.8) уникальна, если же в уравнение (к.8) ввести переменные больше 1, то для каждой кривой меньше 1, будем иметь семейства кривых больше 1.

Положим ξ_α = а/с, η_α = ρ_α²(φ), тогда из (к.7), (к.8), (к.15) следует

(к.17)              a_α²(φ) + b_α²(φ) = с_α²(φ) · ρ_α²(φ),

где: a_α, b_α, с_α - числа ≥ 1; a_α = ξ_α ; b_α = η_α·с_α.

Числа a_α, b_α, с_α при каждом вещественном положительном a являются реше­ниями уравнения    

(к.18)              a_a^a(φ) + b_a^a(φ) = с_a^a(φ) ,

в котором 1 £ а_a £ ¥, 1 £ b_a £ ¥, 1 £ c_a £ ¥. Отметим, что кривая (к.18) тождественна кривой (к.17). На плоскости переменных аb пересечение луча из начала координат с кри­выми (к.14) и (к.17) дают точки (ξ_α, η_α), (ξ₂, η₂), (a_a, b_a), (а₂, b₂). Эти точки нахо­дятся в свойстве подобных треугольников (рис. к.3), в которых

(к.19)              ξ_a(φ)/ξ₂(φ)=η_a(φ)/η₂(φ)=а_a(φ)/а₂(φ)=b_a(φ)/b₂(φ)=c_a(φ)/c₂(φ)=ρ_α(φ)/ρ₂(φ)=ρ_α(φ).

Рис. к.3. Решения меньше и больше единицы.

 

Лемма 1. Значение функционального радиуса ρ_α(φ) для кривой (к.17) иррациональ­но для любого a > 2, если принять, что а и b целые числа и угол φ изменяется от 0 до p/2.

Доказательство. Из (к.9) и (к.16) при a > 2 следует, что ρ_α²(φ) число не целое, следовательно, оно может быть рациональным или иррациональным. Для опре­деления вида ρ_α²(φ) используем то, что в левой части уравнения (к.17) представ­лена сумма квадратов целых чисел. В работе [19] для них дан красивый вывод давно известных соотношений

(к.20)              b = m² - n², с = m² + n², а = 2mn,

где m и n - целые числа.

На плоскости ab (рис. к.4, к.5, к.6) точки (a_mn, b_mn) лежат на определенных пересечениях прямых, выходящих из начала координат,

(к.21)              b = a·n(n + 2) / 2(n + 1)

и гипербол

(к.22)              b = 2m²·(n + l)·(n + 2) / а·n ,

совместное решение уравнений, для которых дает новые зависимости

(к.23)              а = 2(1 + 1/n_a)   и   b = 2(1 + 1/n_b),

(к.24)              [n_a(n_a + 2)]² + [2(n_a + 1)]² = с² · n_a² / m² ,

где:      m - целое число большее 0, n = m;

n_a - все целые от 1 до 2mn, на которые целочисленно делится число 2m, и дробные больше 2^1/2, у которых знаменатель, умноженный на 2, - одно из целых n_a, и числитель и знаменатель - простое из целых n_a, (см. табл. к.1);

(к.25)              n_b = 2 / n_a.

Зависимость (к.24) по форме совпадает с (к.17). Если принять, что

(к.26)              a_a²(φ)  = [n_a(n_a + 2)]², b_a²(φ)  = [2(n_a + l )]², c_a²(φ)  = с²,

тогда

(к .27)             ρ_α²(φ) = n_a² / m² ,

и остается рассмотреть действительные пересечения областей ρ_α²(φ) и n_a²/m². Так как по условию леммы 1 а и b целые числа, то из (к.26) следует, что n -целое. Таким образом, отношение n_a/m будет состоять из n_a = 2m, m, ... , 2,1; m = 1, 2, 3, ....

 

Рис. к.4. Поле целых чисел с = (a² + b²)^1/2

 

 

Рис. к.5. Большое поле целых чисел

Рис. к.6. Логарифмическое поле целых чисел

Таблица к.1

 

Рассмотрение значений ρ_α²(φ)  начнем с максимальных значений n_a, содержа­щих m:

1) при n_a1 = 2m: ρ_α²(φ) = 4m²/m² = 4, что больше максимального значения ρ_∞²(φ)|_{φ = 45°} = 2;

2) при n_a2 = m: ρ_∞²(φ) = m²/m² = 1, что соответствует ρ₂²(φ)|_{φ = 45°} = 1 (по условию a = 2 исключено из рассмотрения).

В итоге, в пределах 2 < a < ∞ функциональный радиус ρ_α²(φ)  лежит вне целых и рациональных значений n_a²/ m², то есть ρ_α²(φ)  иррационально.

Лемма 2. Значение функционального радиуса ρ_α(φ)  для кривой (к.20) иррацио­нально для любого a в пределах 1<a<2, если принять, что а и b целые числа и что угол φ изменяется от 0 до p/2.

Доказательство. В лемме 1 определены значения ρ_α²(φ)  для n_a1 с результатом 4, а для n_a2 с результатом 1. И для продолжения доказательства необходимо определить n_a3 - следующее ближайшее к n_a2. Эмпирически из таблицы 1 для n_a3 найдено выражение

(к.28)              n_a3 = 2m / Н ,

где Н - наименьшее число натурального ряда чисел, являющееся делителем числа 2m, до получения целого числа, меньшего чем m.

При использовании зависимости (к.28) будем иметь:

3)   при Н = 1: ρ_α²(φ) = (2m/n)² /m² = 4 - рассмотрено в лемме 1;

при Н = 2: ρ_α²(φ) = (2m/n)² /m² = 1, - рассмотрено в лемме 1;

при Н = 3: ρ_α²(φ) = (2m/n)²/m² = 4/9, что меньше значения ρ_∞²(φ) )|_{φ = 45°} = 1/2, то есть      внутри области изменения  ρ_∞²(φ) при 1 < a < 2 не имеется ни одного рационального значения дроби n_a²/ m².

В итоге, в пределах 1 < a < 2 функциональный радиус ρ_α²(φ) иррациона­лен, |ρ_α(φ)| = [ρ_α²(φ)]^1/2, тем более иррационально, что и требовалось для доказа­тельства.

В леммах 1 и 2 доказано, что функциональный радиус ρ_α²(φ)  в уравнениях (к.14) и (к.17) при изменении a в пределах 1 £ a £ ¥ может принимать следующие значения:

при a = 1, a = 2, a = ∞ - рациональные и иррациональные;

при 1< a <2, 2 < a < ∞ - только иррациональные.

И если принять за аксиому утверждение о наличии обратной степенной симметрии решений (к.14) и (к.17) относительно решений при степени a = 1, то будем иметь, что функциональный радиус ρ_α²(φ) при изменении a в пределах 0 < a < 1 может принимать следующие значения: при a = 0, a = 1/2, a = 1 - рациональные и иррациональные;

Таким образом, частные решения (к.17) для значений ρ_α²(φ) разграничи­вают первый квадрант на 10 областей целых, рациональных и иррациональных числовых значений имеющих связь с конусными сечениями (рис. к.7) и с кривизной пространства (табл. к.2).

Модель конусных сечений через одну точку оказалась удобной для опи­сания вещественных и полевых объектов еще и потому, что совместила в себе траектории пространств разной кривизны: эллипсные - положительной (Римана), гиперболические - отрицательной (Лобачевского), параболические - нулевой кривизны или евклидова пространства (рис. к.7). И вследствие применения этой модели точка зрения на кванты является конусной.

Результаты квазитригонометрии распространяются на спектры атомов, золотое сечение в виде наклонов линий (на рис. к.8 они показаны в виде сплошных линий, а это не что иное, как пифагоровы числа, более сложное на этом рисунке и менее проявленное - это другие кривые, которые распространяются на строение ядер атомов), т.е. имеем те же синусы и косинусы обычной тригонометрии.

 

Таблица к.2

 

 

Рис. к.7. Конусные пространства кривизны и решения уравнения вида |a|^a + |b|^a = 1

Рис. к.8. Поле целых  чисел в 4-х квадрантах

 

 

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА

 

Французский математик Пьер Ферма сформулировал теорему: Диофантово уравнение  х^a + у^a = z^a, где a - целое число, большее двух, не имеет решений в целых и положительных числах. Еще раз отметим связь кривых Ферма с постановкой теоремы. Аппарат квазитригонометрии позволяет доказать ее следующим образом.

Уравнение х^a + у^a = z^a, x ³ 1 и целое, y ³ 1 и целое, z ³ 1 и являющееся реше­нием, как выше установлено, тождественно уравнению второй степени

x_α²(φ) + y_α²(φ) = z_α²(φ) · ρ_α²(φ),

где  ρ_α²(φ) при a > 2, 0 < φ < p/2 иррационально согласно леммы 1. Левая часть уравнения - это сумма целых квадратов, следовательно остается рассмотреть только правую часть. Из уравнений (к.17) и (к.19) с учетом того, что       х = а, y = b, z = c, имеем    

 z₂²(φ) = z_α²(φ) · ρ_α²(φ),

где z₂²(φ) - целое число и ρ_α²(φ) - число иррациональное. В таком сочетании z_α²(φ) является числом иррациональным, дополняющим в произведении так же число иррациональное до целого числа z₂²(φ). Тогда и z_α(φ) = |[z_α²(φ)]^1/2| есть число иррациональное, как корень квадратный из иррационального же числа. В итоге, в уравнении х^a + у^a = z^a при a > 2 число z - всегда иррационально, то есть не целое, что и требовалось для доказательства теоремы Ферма.

 

Спектры атомов

 

            Уравнение х^a + у^a = z^a, как выше было установлено, тождественно уравнению второй степени

x_α²(φ) + y_α²(φ) = z_α²(φ) · ρ_α²(φ).

Вариант 1. Для спектра атома водорода это уравнение в комплексных координатах имеет следующий вид

x_α²(φ) + i²y_α²(φ) = z_α²(φ) · ρ_α²(φ),

где:      I = (-1)^1/2  (Природа по-видимому решила задачу Ферма целочисленно, добавив в нее мнимость. Равенство  i² = -1 исследовалось, начиная с середины 16 века, как раз в то время, когда жил Ферма..);

            примем, что z_α²(φ) = x_α²(φ)· y_α²(φ), тогда ρ_α²(φ) = 10^-8R_¥·λ_Z;

            R_¥ - постоянная  Ридберга;

            λ_Z  - длина волны.

 

            Вариант 2. Имеем следующие уравнения пифагоровых чисел

b = m² – n², с = m² + n², а = 2mn.

а/b = 2mn / (m² – n²)  - коэффициент наклона линии, в котором примем, что 2=mn, 3=mn, 4=mn .., тогда получаем следующее общее уравнение

λ_Z = [m_{№линии в серии}²·n_{№серии}² / (m_{№линии в серии} ²-n_{№серии}²)] / (10^-8 · R_∞).

            Упростим формулу до вида

λ_Z = [j² / (j ²-i²)] · i² / (10^-8 · R_∞),

где:      I – номер серии; i=1, 2, 3, .. ;

j>I, j=2, 3, 4, .. – номер линии в серии.

            Обозначим [j² / (j ²-i²)] = k_л , коэффициент линии в своей серии, тогда будем иметь  λ_Z = k_л · i² / (10^-8· R_∞), при k_л = 1 будем иметь нижнюю границу серии  I [33].

            Для водорода расчет энергии кванта W_λ производится по формуле

W_λ  = 13,6[eV] / k_л,

расчет энергии ионизации кванта Ɛ_ионизλ производится по формуле,

Ɛ_ионизλ = 13,6[eV] / k_иониз.,

где k_иониз. – коэффициент ионизации,  k_иониз. = j² / (j ²- 1).

            И здесь наблюдаются интересные соотношения, когда степень меняется на единицу

(W_{H∞1=13,6эВ})^{3,61055168983981}  = ch / q

(W_{H∞1=13,6эВ})^{2,61055168983981} = 10⁸ / R_∞

(W_{H∞1=13,6эВ})¹  = chR_∞ / 10⁸q

 

 

Водород ¹Н

 

Логарифмический спектр атома водорода, цифрами указана линия начала серии

*Красным цветом обозначены табличные линии, в каждой серии по 36 линий, зеленым цветом линии отсутствующие в таблице спектральных линий. Данные сопоставления исходных и расчетных линий приведены в таблице к.3.

 

Таблица к.3

*Следует отметить, что в серии Бальмера присутствует 34 линии – это очень много (видимый спектр).

** Отметим, что отклонение в каждой серии почти одинаково и по теории Бора введено много поправочных коэффициентов, один из них соответствует отношению         (1836+1)/1836=1,000544, и другое отношение 

(1836·2+1)/(1836·2)=1,000272, учитывающих массы протона и электрона в атоме [33, 24].

 

 

Гелий ⁴He    

 

Логарифмический спектр атома гелия, цифрами указана линия  начала серии для ионизированного атома гелия с одним электроном как у водорода

* Данные сопоставления исходных и ближайших расчетных линий (в формулы вводится коэффициент равный атомному номеру элемента в квадрате, для гелия это будет четыре [33])  для электрона II приведены в таблице к.4.

 

Таблица к.4

 

 

Логарифмические укороченные спектры (до 8 линий в серии) водородоподобных атомов первых 36 элементов таблицы Менделеева

 

 

 

 

 

Зависимость энергии кванта от длины волны (до 8 линий в серии) водородоподобных атомов первых 36 элементов таблицы Менделеева

 

Укороченные линейные спектры (до 8 линий в серии) первых 5 элементов таблицы Менделеева с проявленным коэффициентом линии k_л в виде ее ширины

 Следует отметить, что серии первого элемента ¹H проходят чище, т.к. первые две серии линий более сжаты, а на третью уже заходят линии с четвертой серии, последующие серии расширяются, захватывая пространство предыдущих серий.

 

ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ

 

В литературе [18] показано, что золотое сечение лежит в основе скульптуры, архитектуры, музыки, биологии, искусства, творчества и представляет собой фундаментальный закон гармонии.

Золотое сечение в физике является продолжением рассмотрения свойств пространства, как свойств взаимозаменяемости круга - полярной системы координат или времени, и длины - прямоугольной системы координат.

Представим полярную и декартову систему координат одним квадрантом в золотом сечении следующим видом, показанном на рисунке из  [18, с. 307] (это построение идет из глубокой древности).

Имеем пересечение единичной окружности и квадрата, в котором отрезок b = 2а. Для точки пересечения квадрата и окружности имеем соотношение а² + b² = с² = R² =1, если в это уравнение вставим b = 2а, получим (рис. z.1)

Рис. z.1. Круговая квадратура круга и золотое сечение

 

Угол j составляет

Задача состояла в том, чтобы найти зависимость золотого сечения для линейной и круговых координат, или в согласовании длины и градусов.

Рассмотрим диагональную симметрию площади квадрата, вычисляемую через половину его диагонали (рис. z.2). Первое, что проявилось в этом построении - это наклон линий сGh-сектора, для линий квантов 1/4, для линий масс покоя 1/3 и для линий черных дыр 1/2. Из этого следовало, что это не простое построение, а содержащее в себе элемент логарифмического пространства.

 

Рис. z.2. Линейная квадратура круга или физическая линия

 

Физическая линия с виду конечна, хотя в своем построении бесконечна. Здесь все наоборот. Не в бесконечности линии элементарность точки, а в бесконечности точки элементарность линии.

 

Некоторые числовые соотношения Ф и S

 

Число S определяется числом Ф, деления окружности на сектора, наименьший сектор определяет размер 1 градуса.

где:      Ф - градусная система измерения (полярная система координат);

2S² - два элементарных квадрата образующих золотое сечение;

S - элемент элементарной длины (прямоугольной системы координат).

На следующих рисунках отметим квадратичную аналогию физической точки с таблицей Менделеева.

Физическая точка

 

 

Перейти на главную страницу