ЗАКОНЫ ИЗЛУЧЕНИЯ НА ПОВЕРХНОСТИ ПЛАНКОВСКОЙ ТОЧКИ

 

Законы излучения основываются на формулах:

-  Рэлея-Джинса, для плотности энергии излучения в интервале низких частот

 

(и.3)                ρ_ν,T  = (8πν²kT)/c³ ;

 

-        Вина, для плотности энергии излучения в интервале высоких частот

 

(и.4)                ρ_ν,T  = aν³e^-bν/T,

 

где а и b - постоянные коэффициенты: а = 8πh / c³, b = h / k;

- Планка, для энергии излучения dE_ω в выделенном участке спектра

 

                           Vhω³

(и.5)                dE_ω = ---------------   dω .

                              π²с³(е^hω/kТ-1)

 

Проанализируем подробнее формулу (и.5), которая может быть представлена также как

 

                                     V8πhν³

(и.6)                dE_ν = ------------------ dν ,               

                                               с³(е^hν/kТ-1)

или                            

                                      V8πhc

(и.7)                dE_λ =  -------------- dλ .

                                   λ⁵(е^hc/λkТ-1)

 

При подстановке

 

(и.8)                z = hω / kT = hν / kT = hc / λkT

 

в выражения (и.5), (и.6), (и.7), они приводятся к обобщенному виду

 

            r³k⁴T⁴          z³

(и.9)              dE_z = -------- · ---------- dz .             

                                   h³c³         e^z – l

 

На поверхности планковской точки выражение

 

                        r³k⁴T⁴        

                        --------  = 1,

                        h³c³      

а смыcл выражений в равенстве dE_ω/dω = h,     dE_ν/dν = h.  

При отыскании максимума в (и.5), (и.6)  соответственно как

 

(dE_ω/dω)' = 0, (dE_ν/dν)' = 0,

 

что соответствует решению уравнения e^z ·(3 - z) = 3, получим общий конечный результат

 

(и.10)              z_max = hω / kT = 2,82144,      

 

откуда Τ / ω = h / z_maxk.

Этот результат означает: при повышении температуры положение максимума распределению смещается в сторону больших частот "пропорционально Т, что есть закон смещения Голицына" [20].

В свою очередь, для выражения (и.7) максимум функции получим при реше­нии уравнения при (dE_λ / dλ)' = 0, или е^λ·(5 - λ) = 5, при

(и.11)              λ_mах= hс / λkТ = 4,9651.

Выражение (и.11) в виде

(и.12)              λΤ = hc / λ_maxk = 0,289 см·К

известно как закон смещения Вина [21].

Наличие двух законов смещения, Голицына и Вина, в основе которых лежит одно обобщенное выражение (и.9), следствие буквального подхода к форму­ле Планка, которая является приближенной по отношению к формулам (и.3) и (и.4), и точно соответствует им только на краях спектра. Возникает вопрос, можно ли путем внесения какого-либо коэффициента добиться, чтобы законы смещения Голицына и Вина совместились, а формула для энергии излуче­ния в выделенном участке спектра имела бы точное выражение.

Но оказывается, что без изменения формы уравнения (и.9) этого сде­лать нельзя.   Для выполнения выше указанных требований необходимо принять z_max  = λ_max = 1, тогда в правой части законов останутся только фундаментальные константы, с которыми связана система единиц КСЕ (система единиц КСЕ представляет собой набор фундаментальных констант в планковской точке). В результате перемножения Т_КСЕ на r_КСЕ получим

(и.13)              Т_КСЕ·r_КСЕ = hс / k = 0,2289    [cм·K_КСЕ].

Формула (и.13) есть закон смещения в КСЕ. Температуру, определенную по этому закону, будем обозначать в размерности К_KCE (Кельвин КСЕ).

Переходя от планковской точки на поверхность любого объекта, необходимо учитывать искривление пространства за счет местного потенциала тяготения и для поверхности Земли будем примерно иметь λ=2πr_λ  и следующую зависимость температуры от длины волны 

(и.14)              Τ_КСЕλ = hc / k.

Формула (и.14) представляет собой закон смещения в КСЕ для поверх­ности Земли.

Теперь выведем соответствующую формуле (и.13) формулу излучения в КСЕ, используя взаимосвязь между формулами (и.3), (и.4), (и.6), (и.10), (и.11). Формула излучения в КСЕ должна соответствовать следующим условиям:

1)      максимум излучения должен наблюдаться при

z_max = hω / kT = hν / kT = hc / λkT = 1;

2) в интервале низких частот она должна соответствовать формуле для плотно­сти энергии излучения Рэлея - Джинса, а в интервале высоких частот - формуле Вина;

3) в основе она должна содержать   максимальное   значение распределения идеальных газов по скоростям

(и.15)              dN/N = (4υ²π^1/2)·(m/2kT)^3/2·e^-mυ2/2kTdυ²  .

Для раскрытия условия 3) приведем формулу (и.15) к виду

(и.16)              dN/N = π^1/2·f(x)dx  ,

в котором f(х) = x^1/2е ^-х/2 и принято, что x = mυ²/kT, откуда υ² = xkT/m,               υ = (xkT/m)^1/2,  dυ = 2^-1(kT/m)^1/2·(xkT/m)^1/2 ·x^-1/2dx.

Для выражения (и.16) максимум функции получим при решении уравнения      (dN/dx)' = 0 при х=1, что означает

(и.17)              mυ²/kT = l

и, следовательно,

(и.18)              mυ²/kT = hν/kT или mυ² = hν .

Согласно перечисленным условиям, соответствующая формула излучения энергии в КСЕ должна иметь следующий вид

(и.19)              Ε = a·P^l-b,

где:      а                                  - общая часть функций f(Р) и f(b), то есть формул (и.3) и (и.4);

b = (hω / kT) ·μ          - поперечная составляющая волн,

μ                                 - коэффициент согласования,

Ρ = kT / mυ²               - продольная составляющая волн.

Раскрывая в (и.19) буквенные выражения, получим

(и.20)              dE_ω = (Vhω³      / π²с³) · P^{1- hω/kT · 3/lnP}·dω    ,

или

(и.21)              dE_ν = (V8πhν³  / с³)    · P^{1- hν/kT · 3/lnP} ·dν     ,

или

(и.22)              dE_λ = (V8πhc   / λ⁵)  ·  P^{1- hc/λkT · 3/lnP} ·dλ    ,

или, в общем виде

(и.23)              dE_z = (Vk⁴T⁴z³/ h³с³)·P^{1- z · 3/lnP} ·dz                .

В качестве примера укажем условия, при которых из (и.21) следуют формулы:

- Рэлея-Джинса при условии hν/kT >> 1 и mυ² = hν,

- Вина при условии hν/kT << 1.

Далее определим, каким будет соответствующее выражение для полной плотности излучения в КСЕ. Для этого запишем выражение (и.23) в виде

(и.24)              dE_z = (Vk⁴T⁴P / h³с³)· z³P ^{-z · 3/lnP} ·dz    .

Теперь, учитывая, что P ^-3z/lnP = e^-3z и, обозначив сомножитель k⁴P / h³c³ через А, придем к выражению

подынтегральной функции показан на рисунке)

будем иметь следующее выражение для полной плотности излучения в КСЕ       

                             Е_КСЕ = а_КСЕ´·Т⁴, где а_КСЕ´ = (2/27)·k⁴ / h³с³

с точностью до безразмерного коэффициента.

Уточним это выражение. Коэффициент будем определять для поверхности планковской точки в выраже­нии  Е_КСЕ = aT⁴V, используя следующие выражения:

- энергию кванта длиной λ = 2πr_λ, Е_КСЕ = hc/r

- температуру для λ = 2r_λ, Τ = 2hс / λ = hc / r_λk ,

- объем для кванта λ = 2πr_λ , V = 4πr_λ³/3 .

Тогда получим  а_КСЕ=Е_КСЕ / T⁴V= πhc / r_λ(hc/r_λk)⁴·(4πr_λ³/3) = 3k⁴ / 4πh³с³.

В этом случае выражение для полной плотности излучения (давления равновесного излучения) примет вид 

(и.26)              P _КСЕ = а_КСЕ·Т⁴.

В единицах плотности массы световое давление равновесного излучения составит величину

(и.27)              ρ_ν =Е_КСЕ / с² = a_КСЕТ_КСЕ⁴ / с² .

Полная плотность энергии излучения Ε связана с энергетической светимос­тью Μ соотношением

(и.28)              Μ = сЕ/4 =σ ·Τ⁴,

где σ = ca / 4 = π²k⁴ / 60ħ³с² = 5.67·10^-5 эрг / с·см²·град⁴.

Формула (и.28) носит название формулы Стефана-Больцмана, а коэффициент σ - постоянной Стефана-Больцмана. Аналогично, энергетическая светимость будет иметь вид

(29)                 М_КСЕ = с·Е_КСЕ / 4 = σ_КСЕ σ·Т_КСЕ⁴ ,

где  σ_КСЕ = с·а_КСЕ = 2.0586·10^-5 эрг / с·см²·град_КСЕ⁴.

Подставляя из формулы (и.27) значение плотности реликтового излучения ρ_ν в формулу по параметру Хаббла  r_H² = 3c² / 4ρ_чдG      определяем электромагнитный радиус Вселенной

r_H² = 3c² / (4a_KCET_KCE⁴ / c²)G = r_λ⁴c³ / Għ,

r_H = r_λ²(c³ / Għ)^1/2 = (λ_р² / 4)·(с³ / Gh)^1/2 = 1,77·10³⁰ см ,

 то есть результат тот же, как и в предыдущем выводе.

 

Перейти на главную страницу